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【转载】初中代数题选解.62  

2018-01-16 09:03:31|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自Chencius.Sino《初中代数题选解.62》

初中代数题选解.62

 

问题:如图,在矩形AOCD中,把点D沿AE对折,使点D落在OC上的点F,已知AO=8AD=10

初中代数题选解.62 - Chencius.Sino - 中国陈子

1、求F的坐标;

2、已知一条抛物线经过点OF,且直线y=6x–36是该抛物线的切线,求该抛物线的解析式。

3、直线y=k(x–3)–35/4 与上述抛物线交于PQ两点,点B的坐标是(3–35/4),求证:1/PB + 1/QB 为定值

 

一、关于“1、求F的坐标”的解题思路:

1、按已知条件可得:点A坐标(08)、点C坐标(100)、

   D坐标(108),设F坐标为(x,0

2、△AOF是直角三角形,且AF=AD=10AO=8

   由勾股定理得:x=6

   所以,F坐标为(6,0

 

二、关于“2、已知一条抛物线经过点OF………”的解题思路:

1、不妨设该抛物线是:

y = ax2+bx + c

2、由于该抛物线经过点O0,0:

   c=0

y = ax2+bx

3、由于该抛物线经过点F6,0:

A62+b6 =0

b = -6a

y = ax2 - 6ax

4、由于该抛物线与y=6x–36相切

ax2 - 6ax = 6x–36

   关于x的解唯一

   整理上式得:

ax26(a+1)x + 36 = 0

其 △=0

[6(a+1)]2 –144a = 0

解得:a = 1

∴ 该抛物线的解析式是:

y = x2 - 6x

该抛物线的对称轴是: x=3

三、关于“3、直线y=k(x–3)–35/4与上述……”的解题思路:

1、联立y=k(x–3)–35/4y= x2-6x可得:

     k(x–3)–35/4 = x2-6x

   整理后得:

     x2-(6+k)x + 3k + 35/4 = 0

2、设st为上述方程的两个实数根,则:

     s + t = 6+k

     st = 3k+35/4

     y1=k(s–3)–35/4

     y2=k(t–3)–35/4

3、不妨设s < t,则:

   由于 x=3 是该抛物线的对称轴

   s < 3 t > 3

4、不妨设:

s,y1)是点P的坐标,(t,y2)是点Q的坐标,则:

   PB = [(s-3)2+(y1+35/4)2]

=[(s-3)2+K2 (s-3)2]

=(3-s)(1+K2 )

1/PB = 1/[(3-s)(1+K2)]

   QB = [(t-3)2+(y2+35/4)2]

=[(t-3)2+ K2 (t-3)2]

=(t-3)(1+K2)

1/QB = 1/[(t-3)(1+K2)]

41/PB + 1/QB

   =1/[(3-s)(1+K2)] + 1/[(t-3)(1+K2)]

   = 1/(1+K2)[1/(3-s) + 1/(t-3)]

  [1/(3-s) + 1/(t-3)]

     = [(3-s)+(t-3)]/[(3-s)(t-3)]

= (t-s)/(3t-9-st+3S)

= (t-s)/[(3(s+t)-9-st]

= (t-s)/[(3(6+K)-9-( 3k+35/4)]

= 4(t-s)

1/PB + 1/QB = 4(t-s) /(1+K2)

 

  又:t-s =[(t-s) 2]

          =[(t+s) 2 -4st]

          =[(k+6) 2 -4(3k+35/4)]

=(k2+12k+36-12k-35)

=(k2+1)

[1/(3-s) + 1/(t-3)] = 4(k2+1)

1/PB + 1/QB = 4(t-s) /(1+K2)

               = 4

1/PB + 1/QB 是定值。



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